|
|
|
 |
ادامه مطلب...
کتاب انفجار ریاضیات ترجمه شد.
شما می توانید برای دیدن نسخه الکترونیکی این کتاب به سایت انجمن ریاضی ایران مراجعه کنید.
مسابقات علمی
بزودی هر ماه با یک سوال ریاضی و آماری .
این قرن را می توان قرن بهره برداری از حسابان نامید. وسیله ای که بلافاصله پس از کشف، قادر به حل مسائلی شد که قبل از آن تسخیر ناپذیر می نمودند. گستردگی کاربرهای آن حتی در مکانیک و نجوم، چنان اعجاب آور بود که اکثر ریاضیدانان این قرن را به خود جذب کرد و باعث تالیف مقالات بسیار شد. متاسفانه دقت کافی نیز در اثبات قضایا منظور نمی شد و کم کم دومین بحران بزرگ تاریخ ریاضیات شکل گرفت (اولین بحران، کشف عدد اصم
1. خانواده برنولی: این خانواده سوئیسی، یکی از متشخص ترین خانواده ها در تاریخ ریاضیات بود. سابقه خانوادگی آنها با دوبرادر، یاکوب برنولی و یوهان برنولی آغاز می شود و با پسران یوهان به نامهای نیکولاس، دانیل و یوهان II و نیز پسر یوهان II، یوهان III و نوادگان دیگر ادامه می یابد. سابقه خانوادگی آنها را می توان از سال ۱۶۵۴ تا ۱۸۶۳ (حدود ۲۱۰ سال) پی گرفت. به جهت اختصار فقط به کارهای دو برادر اول می پردازیم.
- یاکوب برنولی: او کاربردهای مهمی از مختصات قطبی را ارائه نمود، فرمول شعاع انحنای یک منحنی در مختصات دکارتی و قطبی را استخراج کرد، منحنی همزمان را کشف کرد (این منحنی یک سهمی از درجه سه دوم است که مماس در نقطه بازگشت آن قائم است و هر جسم در امتداد آن با سرعت عمودی یکنواختی سقوط میکند)، مساله شکلهای هم پیرامون را طرح نمود
(مسیرهای مسطح بسته ای از انواع مفروض که محیط آنها ثابت و مساحت آنها ماکزیمم است) و کتاب معروف فن حدس زدن را در موضوع احتمال ریاضی تالیف کرد. نام او در ریاضیات با توزیع برنولی و قضیه برنولی در آمار و احتمال، معادله برنولی در معادلات دیفرانسیل، اعداد و چند جمله ایهای برنولی در نظریه اعداد و لمینسکات برنولی در حساب دیفرانسیل و انتگرال همراه است. جالب است که بدانیم که کلمه انتگرال را نیز برای اولین بار، یاکوب برنولی به کار برد.
- یوهان برنولی: او به حسابان غنای زیادی بخشید و در شناساندن قدرت آن در اروپا بسیار موثر بود. مقالات متعدد یوهان برنولی را مارکی دو لوپیتال در قالب اولین کتاب درسی حسابان گردآوری و منتشر کرد (بد نیست بدانیم که بعدها قاعده صورت مبهم صفر تقسیم بر صفر به غلط قاعده هوپیتال نام گرفت). محاسبه طول قوس منحنی ها، حسابان توابع توانی و تلاش برای حل دو مساله مهم کوتاهترین زمان و همزمانی که به دست آوردن منحنی هایی با شرایط خاص است، فهرستی از کارهای مهم اوست. ضمنا او یکی از موفقترین معلمین زمان خود بود.
2. دموآور: آبراهام دموآور یکی از دوستان صمیمی نیوتن بود و با تالیف سه کتاب، نقش مهمی در نظریه آمار و احتمال دارد. بررسی انتگرال احتمالاتی معروف
ادامه مطلب...
هشتمین مسابقات دانشجوئی آمار
۱۳ شهریورماه ۱۳۸۶ . دانشگاه مازندران
توزیع های نمایی بی حافظه هستند
یک خصوصیت مهم توزیع های نمایی٬ "بی حافظگی" آنهاست. بدین معنا که برای s < t های مثبت٬ داریم (P(W > t |W > s) =
به زبان گفتار٬ خاصیت بی حافظگی را می توان به این صورت بیان کرد که : فرض گیرید که هیچ رخدادی تا زمان s اتفاق نیفتاده باشد. احتمال شرطیِ رخ ندادن هیچ پیشامدی تا زمان بعدی t ٬ دقیقاً برابر احتمالِ ندیدن هیچ رخدادی در بازه ی زمانی به طول
-
اگر زمان انتظار تا از کارافتادگی (یا مرگ) یک مولفه٬ یک توزیع نمایی باشد٬ آنگاه احتمال اینکه یک مولفه که قبلا برای مدت s = 5 سال زنده مانده بود٬ برای یک سال دیگر نیز باقی بماند (یعنی در مجموع ۶ سال)٬ دقیقا همان احتمال این است که مولفه ی جدیدی برای مدت زمان t – s = 1 سال٬ زنده باشد.
برای مثال:
یک بانک را در نظر بگیرید. فرض کنید کارمند صندوقداری در آنجا وجود داشته باشد که می تواند در هر دقیقه بطور متوسط٬ 
مشتری را سرویس دهد. اگر تعداد مشتری هایی که در هر دقیقه به بانک وارد می شوند برابر مقدار متوسط l باشد٬ می خواهیم محاسبه کنیم چه مدت زمانی هر مراجعه کننده باید منتظر بایستد٬ طول صف چه مقدار خواهد بود و صندوقدار تا چه حد مشغول خواهد بود.
-
مقادیر میانگین٬ برای تعیین سرعت رسیدن و سرعت سرویس دهی٬ بکار می روند. اگر مقادیرِ٬ ثابت باشند٬ سیستم یک سیستم قطعی نامیده می شود. آنگاه اگر سرعت میانگین رسیدن به بانک٬ کمتر از سرعت سرویس دهی باشد٬ هیچ گاه صفی تشکیل نخواهد شد. اما اگر این مقدار بیشتر از سرعت سرویس دهی باشد٬ صف نامتناهی خواهد بود.
-
هرگاه سرعت رسیدن و سرعت سرویس دهی٬ متغیرهای تصادفی باشند٬ فرض خواهیم کرد که از توزیع های یکسانی پیروی خواهند کرد. در این حالت٬ توزیع نمایی٬ جالبترین توزیع مورد قبول در عین سادگی است. همچنین بسیار به حقیقت نزدیک می باشد.
خصیصه ی کلیدی توزیع های نمایی٬ بی حافظگی٬ در اینجا به این صورت است که زمان رسیدن قبلی٬ مستقل از زمان رسیدن بعدی است (به همین ترتیب برای سرعت سرویس دهی).