انواع توزیعهای احتمال

1- توزیع احتمال یک متغیر تصادفی گسته ، یا بطور خلاصه ، توزیع یک متغر تصادفی عبارت است از فهرست مقادیر X_i از متغیر تصادفی X همراه با احتمال منسوب به هر یک از این مقادیر ، (f(x_i) = P(X=X_i. اغلب می توان به جای استفاده از یک فهرست مفصل، از یک فرمول استفاده کرد.
2- تابع چگالی احتمال (f(x ، توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته را توصیف می‌کند و دارای خواص زیر است.
الف) مساحت کل زیر منحنی چگالی برابر با یک است.
ب) مساحت زیر منحنی چگالی بین b,a مساوی است با (P(a≤x≤b
ج) (f(x مثبت یا صفر است.

انواع توزیعهای احتمال گسسته

امتحان برنولی (موفقیت شکست)

در اینجا تکرارهای متوالی یک آزمایش یا مشاهده را مورد بررسی قرار می‌دهیم و هر تکرار را یک امتحان می‌نامیم.
به علاوه فرض می‌کنیم که برای هر امتحان فقط دو برآمد ممکن وجود دارد. که یکی از آنها را موفقیت و دیگری را شکست می‌نامند بر این تاکید شده باشد که آنها تنها برآمدهای ممکن‌اند.

ویژگیهای امتحان برنولی

الف) هر امتحان به یکی از دو برآمد ممکن می‌انجامد که در اصطلاح فنی موقعیت و شکسیت نامیده می‌شوند.
ب) برای تمام امتحانها ، احتمال موفقیت p ، یکی است. بنابراین احتمال شکست برای هر امتحان q=1-p است که آن را با q نشان می‌دهید، بطوری که p+q=1
ج) امتحانها مستقل از یکدیگرند. احتمال موفقیت در یک احتمال با داشتن هر مقدار اطلاعات از برآمدهای سایر احتمالها ، تغییر نمی‌کند.
د) احتمالهای برنولی به صورت P(X=x) = p^xq^1-x تعریف می شود. دارای میانگین p (احتمال موفقیت) و واریانس pq (احتمال موفقیت در احتمال شکست) می‌باشد.

توزیع دو جمله‌ای

در حالتی که n امتحان مرکدر برنولی (n عدد ثابت) انجام می‌شوند و احتمال موفقیت در هر امتحان p است. توزیع دو جمله‌ای عبارت است از تعداد موفقیتهای در n امتحان.
توزیع دو جمله‌ای را به صورت
p^x(1-p)^1-x (ترکیب x شیء از n شیء) = (P(X=x) = b(x;n;p برای تمایز n,…,2,1,0 تعریف می‌شود. اصطلاح توزیع دو جمله‌ای از قضیه مهمی در جبر به نام قضیه بسط دو جمله‌ای ، که مربوط است به فرمول بسط a+b)ⁿ) گرفته شده است توزیع دو جمله‌ای دارای میانگین np (تعداد موفقیتهای در n امتحان) و واریانس npq (تعداد موفقیتها در n امتحان ضرب در احتمال شکستها) می‌باشد.

توزیع فوق هندسی

فرض کنید می‌خواهیم نمونه گیری را از یک جامعه N عنصری انجام دهیم که خود می‌تواند به دو گروه تقسیم شود، گروهی که مشخصه معینی دارند و بقیه که دارای چنین مشخصه‌ای نیستند. این دو گروه می‌توانند مثلا ، نر به ماده ، شاغل- بیکار ، سالم- معیوب و نظایر اینها باشند. با پذیرش اصطلاحات سالم و معیوب برای توصیف این دو گروه ، تعداد معیوبها در جامعه را با D نشان می‌دهیم، بنابراین تعداد عناصر سالم N-D خواهد بود. سپس فرض می‌کنیم X ، نشاندهنده تعداد معیوبها در نمونه تصادفی n عنصری باشد. توزیع فوق هندسی به صورت x=0,1,…,n و
(ترکیبn از N شی)/(ترکیب n-x از N-D شی) (ترکیب x از D شی) = (P(X=x تعریف می‌شود. دارای میانگین np ، که در آن P=D/N (نسبت معیوبهای جامعه) ، و واریانس (ndq(N-n)/N-1 می‌باشد.

توزیع هندسی یا زمان انتظار

توزیع  هندسی ، توزیع گسسته دیگری است که در مبحث امتحانهای برنولی پیش می‌آید. وقتی تعداد امتحانها معین باشد، تعداد موفقیتها متغیری با توزیع دو جمله‌ای (b(n,p است. اگر به جای اینکه تعداد امتحانها از قبل معین باشد، بخواهیم امتحانهای برنولی را تا به دست آوردن اولین موفقیت تکرار کنیم، تعداد موفقیتهای عدد معین 1 است ولی تعداد احتمالها متغیر تصادفی است. X عبارت است از تعداد امتحان های برنولی تا به دست آوردن اولین موفقیت. توزیع هندسی به صورت
p(X=x)=q^1-xp , X=0,1,…,n تعریف می‌شود. دارای میانگین p^-1 و واریانس q/p² می‌باشد.

توزیع هندسی را گاهی توزیع زمان انتظار گسسته می‌گویند. این امر ناشی از این واقعیت است که اگر انجام یک امتحان برنولی یک واحد زمان طول بکشد، زمان انتظار برای به دست آوردن اولین موفقیت ، دقیقا عبارت است از متغیر تصادفی x که دارای توزیع هندسی است. توزیع هندسی اغلب برای مطالعه یک مشخصه کمیاب جامعه ، نظیر وجود نوعی بیماری خونی کمیاب ، مفید است.

پیامدهای کمیاب و توزیع پواسن

توزیع پواسن برای ساختن مدل بسیاری از پدیده‌های شانسی مفید است. همچنین تقریبی از احتمالهای دو جمله‌ای را به دست می‌دهد. توزیع پواسن علاوه بر نقشی که به عنوان یک توزیع تقریب کننده دارد، مدل احتمال مفیدی است برای پیشامدهایی که بطور تصادفی در زمان یا مکان رخ می‌دهند، هنگامی که دانسته‌ها منحصر به متوسط تعداد رخدادهای آنها در واحد زمان یک مکان باشد. برای پیشامدی که در زمان اتفاق می‌افتد، هر لحظه از زمان را می‌توان احتمال بالقوه‌ای دانست که در آن ، پیشامد ممکن است رخ بدهد یا رخ ندهد. در یک واحد زمان، بطور بالقوه تعداد متناهی احتمال وجود دارد، ولی معمولا پیشامدها به دفعات اندکی اتفاق می‌افتد.

توزیع پواسن به صورت x=0,1,…,n و !P(X=x) = e^-mm^x/x تعریف می‌شود که e عدد نمایی و برابر 71828/2 است.

توزیعهای احتمال پیوسته

توزیع نرمال یا توزیع گوس

توزیع نرمال ، که ممکن است بعضی از خوانندگان نمودار آن را به عنوان منحنی زنگدیس بشناسند، گاهی با نامهای پیر لاپلا س و کارل گاوس که در تاریخ پیدایش آن نقش چشمگیری داشته‌اند، همراه است. گاوس توزیع نرمال را با روش ریاضی به عنوان توزیع احتمال خطای اندازه‌گیریها به دست آورد و آن را "قانون نرمال خطاها" نامید. توزیع نرمال نقشی اساسی در آمار بازی می‌کند، و روشهای استنباطی که از آن به دست می‌آیند، دارای قلمرو کاربرد وسیعی هستند و ستون فقرات روشهای جاری تجزیه و تحلیل آماری را تشکیل می‌دهند.

توزیع نرمال دارای چگالی e^{-(x-µ)2/2σ2}/σ√2π می‌باشد. که در آن µ میانگین و σ انحراف معیار است به صورت (N(µ,σ² نشان داده می‌شود.

• اگر انحراف معیار با میانگین 0 و انحراف معیار 1 باشد آن را توزیع نرمال استاندارد می‌گویند و به صورت (N(0,1 نشان می‌دهند، دارای توزیع Z = (x-µ)/σ می‌باشد.

• قضیه حد مرکزی: قضیه حد مرکزی: برای توزیع میانگین نمونه مبتنی بر نمونه‌ای تصادفی به حجم n ، میانگین (X) برابر µ ، واریانس (X) برای σ2/n یا (n/ واریانس جامعه) ، انحراف معیار (X) برابر σ/√n یا (n√/انحراف معیار جامعه) می‌باشد. طبق قضیه حد مرکزی توزیع نرمال به صورت Z = (X- µ) / σ/√n تقریبا (N(0,1 است

تعریف احتمال شرطی

احتمال شرطی A به شرط B با (P(A│B نشان داده می‌شود و با فرمول

تعریف می‌گردد، که در آن P(B)>0 این فرمول را می‌توان به صورت زیر نوشت:

که آن قانون ضرب احتمالها گوییم. به همین نحو ، احتمال شرطی B به شرط A را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:


که منجر به رابطه (P(AB) = P(A) P(B|A می‌شود. بنابراین قانون ضرب احتمالها این تساوی را بیان می‌کند که حاصلضرب احتمال شرطی یک پیشامد در احتمال پیشامد شرطی کننده ، برابر است با احتمال اشتراک آن دو پیشامد.

دید کلی

اغلب لازم می‌آید که احتمال پیشامدی چون A، که با پیشامدی مانند B مربوط است، بعد از الاع بر وقوع یا عدم وقوع پیشامد B ، اصلاح گردد. بنابراین کسب اطلاعات درباره جنبه‌ای از نتایج آزمایش ، ممکن است تجدید نظر در احتمال پیشامدی را که مربوط به جنبه دیکری از نتایج است، ایجاد کند. اجتمال تجدید نظر شده A ، وقتی معلوم شود که B رخ داده است، احتمال شرطی A به شرط B نامیده و با (P(A│B نشان داده می‌شود.

احتمال شرطی برای 3 پیشامد

قانون ضرب را می‌توان برای بیش از دو پیشامد نیز تعمیم داد. در مورد سه پیشامد A ، B و C ، فرمول عبارت است از:

احتمال شرطی برای دو پیشامد مستقل

اگر دو پیشامد A و B مستقل باشند آنگاه احتمال شرطی به صورت زیر است:

شرطهای زیر ، هم ارز شرط بالا هستند:

با توجه به شرط استقلال اگر آزمایشی مرکب از دو قسمت فیزیکی مستقل و نامربوط به هم باشد، و پیشامد A و B به قسمتهای جداگانه آن آزمایش مربوط شوند، به پیشامد AB احتمال (P(AB) = P(A) P(B را نسبت می‌دهیم.

تفاوت "پیشامدهای دو به دو ناسازگار" و پیشامدهای مستقل"

این دو خاصیت کاملا متفاوت هستند؛ در حقیقت ، برقراری یکی منجر می‌شود به این که دیگری نتواند برقرار باشد. پیشامدهای A و B را که دارای احتمال های غیر صفرند در نظر بگیرید. وقتی آنها دو به دو ناسازگارند، اشتراک AB تهی است و P(AB) = 0. اگر این پیشامدها مستقل نیز باشند، می‌بایستی در شرط (P(A) P(B) = P(AB صدق کنند، که این موضوع نمی‌تواند درست باشد چون حاصلضرب دو عدد غیر صفر نمی‌تواند صفر باشد. به عنوان مثال ، پیشامدهای A و Á دو به دو ناسازگارند ولی بطور شهودی معلوم است که کاملا وابسته‌اند، به این معنی که به محض وقوع پیشامد A ، مطمئن هستیم که Á رخ نمی‌دهد.

قضیه بیز

 قضیه بیز به صورت زیر است:



این فرمول بوسیله دیوراند تامس بیز (1702-1761) در معرض توجه عموم قرار داده شده و بنابراین به عنوان قضیه بیز معروف است. اگرچه این قضیه نتیجه‌ای مستقیم از مفهوم احتمال شرطی است، ولی دارای مفاهیم ضمنی دیگری است که در نگرش معینی به استنباط آماری موسوم به استنباط بیزی ، بکار می‌آید. این نحوه استنباط ، مبتنی بر این تعبیر است که B_jها عبارتند از "وضعیتهای طبیعی" ممکن ، که محقق احتمالهای ذهنی به آنها نسبت می‌دهد. این احتمالها که ممکن است بر مبنای احساس شخصی و نه از روی داده‌ها تعیین شوند (در حقیقت امکان دارد داده‌ها را بطور کلی در دست نداشته باشیم)، سپس با گواه آزمایشی A ترکیب می‌شوند.

احتمال پیشین و پسین

در ابتدا ، محقق از چند وضعیت طبیعی ممکن B₁ ، B₂ ، ... ، B_K با اطلاع است ولی دقیقا نمی‌داند که کدامیک از آنها براستی پیش می‌آید. مثلا ، برای یک داروساز ، دو وضعیت طبیعی نامعلوم ، می‌تواند موثرتر بودن یا موثرتر نبودن یک دارو نسبت به داروی دیگر باشد، برای یک آژانس تبلیغاتی ، امکان دارد وضعیتهای طبیعی ، اثرات ترکیبات مختلف رنگها در یک نمایش تبلیغاتی باشد.

احتمال پیشین

بر مبنای دانش موجود درباره وضعیت ، یا براساس یک گواه آزمایشی که از وضعیتهای مشابه بدست آمده است، محقق ممکن است درباره احتمالهای (P(B) ، P(B) ، ... ، P(B ارزیابی‌ هایی نماید که در واقع بازتابی از احساس شخصی او در مورد میزان تحمل بودن هر یک از وضعیتهای طبیعی است. چنین احتمالهایی را احتمالهای پیشین یا پیش از آزمایش ، برای وضعیتهای طبیعی گویند.

احتمال پسین

بعد از این کار ، محقق به انجام مشاهده یا اجرای آزمایش می‌پردازد و داده‌ها را گردآوری می‌کند. او می‌تواند احتمال گواه آزمایشی A را به شرط وقوع هر وضعیت مشهود B تعغیین کند، آنگاه قضیه بیز به محقق امکان می‌دهد که احتمالهای شرطی (P(B|A)، (j=1,…,K را محاسبه نماید، که این مار ، چیزی نیست چز نوعی تجدید نظر در احتمالهای وضعیتهای طبیعی مختلف ، بعد از بدست آمدن گواه آزمایشی. این احتمالهای تجدید نظر شده را احتمالهای پسین یا پس از آزمایش گویند؛ که هر گونه استنباطی در مورد وضعیتهای طبیعی نامعلوم ، باید مبتنی بر آنها باشد.

این روش استدلال ، از سوی بعضی مکتبهای فکری مورد این انتقاد قرار گرفته است که احتمالهای پیشین ممکن است تحت تاثیر نظرگاههای انحرافی محقق قرار داشته باشند. در عین حال ، پژوهشگران در بسیاری از رشته‌ها ، از قبیل حسابداری ، اقتصاد ، تعلیم و تربیت و غیره از این روش ستایش کرده‌اند.